Programme de colles K22

Espaces vectoriels: tout le chapitre sans le calcul de déterminants. Exercices simples sur les liens matrices-applications linéaires.

Questions de cours:

1 L'intersection, la somme de sev sont des sev.

2 Si $A$ est une famille de $n$ vecteurs, et si $n+1$ vecteurs sont dans $Vect(A)$, alors ils sont liés.

3 Formule de Grassmann.

4 Si $f$ est linéaire et bijective, alors $f^{-1} $ est linéaire.

5. Si $p$ est un projecteur de $E$,  $E = Ker p \oplus  Im p$

6. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $f\in{\cal L}(E,F)$. Alors
(i) la famille $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est génératrice de $Im f$.
(ii) $f$ est surjective ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est génératrice de $F$.
(iii) $f$ est injective ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est libre.
(iv) $f$ est un isomorphisme ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est une base de $F$.
(3 démonstrations)

7. Théorème du rang.

8. Définition de la matrice d'une application linéaire dans des bases choisies, formule de changement de base dans le cas d'un endomorphisme: $ A'= P^{-1} A P$.

9. Définition du déterminant dans une base, l'espace des formes $n$-linéaires alternées de $E$ de dimension $n$ est une droite (démonstrations en dimensions $2$ et $3$).