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Affichage des articles du 2018

Programme de colles K30

Dernier programme de colles: probabilités et variables aléatoires.

Questions de cours:

1. Définition d'un produit scalaire.

2. Inégalité de Cauchy-Schwarz.

3. Produits scalaires canoniques sur $C^n$, produit scalaire sur ${\cal C}[a,b])$.

Programme de colles K29

Probabilités, variables aléatoires. Exercices sur les probabilités.

Questions de cours:

1. Définition d'une probabilité, propriétés des probabilités.

2. Formule des probabilités totales.

3. Formule des probabilités composées.

4. Loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale, somme de variables de Bernoulli indépendantes de même loi.

5. Espérance: définition, linéarité, espérances des lois usuelles, inégalité de Markov.


Programme de colles K28

Séries (un exercice), probabilités (un ou deux exercices, pas de variables aléatoires).

Questions de cours:

1. Révision: un des théorèmes d'analyse: formule de Taylor, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, théorème fondamental de l'intégration.

2. Formule des probabilités composées.

3. Formule des probabilités totales.

4. Théorème de Bayes pour 2 événements et pour un système complet.


Programme de colles K27

Séries (chapitre complet).
Probabilités (pas d'exercice).


Questions de cours:

1. Révision: dénombrement: nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, cardinal d'un produit, cardinal de ${\cal P}(E)$, nombre d'injections, nombre d'applications, nombre de permutations (pas de démonstration).

2.  Définition d'un univers, d'un événement, d'une probabilité.

3. Propriétés des probabilités: probabilité d'une réunion, du contraire, croissance.

Semaines 28, 29

Semaine 28: concours blanc.
Semaine 29: séries, chapitre 18: probabilités.

TD sur les séries

À préparer pour mardi: TD sur les séries.

Programme de colles K26

Intégration: tout le chapitre. Séries: convergence, séries géométriques, harmoniques, séries à termes positifs, comparaisons équivalent, comparaison avec une intégrale (pas encore toutes les séries de Riemann, ni la convergence absolue), uniquement de exercices simples.

1. Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux.

2. Théorème de l'intégrale nulle: si $f$ est positive et continue sur $[a,b]$, alors $f$ est nulle si, et seulement si, son intégrale sur $[a,b]$ est nulle.

3. Sommes de Riemann: définition et convergence dans le cas d'une fonction lipschitzienne.

4. Théorème fondamental de l'intégration.

5. Théorème de changement de variable.

6. Convergence des séries géométriques.

7. Divergence de la série harmonique.

Semaine 27

Séries.

Programme de colles K25

Intégration, calcul de primitives. Pour les sommes de Riemann, uniquement des exercices simples.

1. Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux.

2. Théorème de l'intégrale nulle: si $f$ est positive et continue sur $[a,b]$, alors $f$ est nulle si, et seulement si, son intégrale sur $[a,b]$ est nulle.

3. Sommes de Riemann: définition et convergence dans le cas d'une fonction lipschitzienne.

4. Théorème fondamental de l'intégration.

5. Théorème de changement de variable.

DM19 pour vendredi 20 avril

Irrationnalité de $\pi$: sujet.

Semaine 26

Intégration, calculs de primitives.Chapitre 17: séries.

Programme de colles K24

Espaces vectoriels: tout le chapitre.
Intégration: définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux, sommes de Riemann.
Les exercices d'intégration porteront sur les calculs de primitives simples (révision).

Questions de cours:

1. Théorème du rang.

2. Définition de la matrice d'une application linéaire dans des bases choisies, définition de la matrice de passage d'une base à une autre, formule de changement de base dans le cas d'un endomorphisme: $ A'= P^{-1} A P$.

3. Définition du déterminant dans une base, l'espace des formes $n$-linéaires alternées de $E$ de dimension $n$ est une droite (démonstrations en dimensions $2$ et $3$).

4. Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux.

5. Théorème de l'intégrale nulle: si $f$ est positive et continue sur $[a,b]$, alors $f$ est nulle si, et seulement si, son intégrale sur $[a,b]$ est nulle.

6. Sommes de Riemann: définition et convergence dans le cas d'une f…

Semaine 25

Intégration: définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction continue par morceaux.

L'exercice posé à Cédric Villani

L'énoncé est ici.
Voici une résolution en python3.

Programme de colles K23

Espaces vectoriels: tout le chapitre (y compris les déterminants).

Questions de cours:

1 Formule de Grassmann.

2 Si $f$ est linéaire et bijective, alors $f^{-1} $ est linéaire.

3. Si $p$ est un projecteur de $E$,  $E = Ker p \oplus  Im p$

4. Théorème du rang.

5. Définition de la matrice d'une application linéaire dans des bases choisies, définition de la matrice de passage d'une base à une autre, formule de changement de base dans le cas d'un endomorphisme: $ A'= P^{-1} A P$.

6. Définition du déterminant dans une base, l'espace des formes $n$-linéaires alternées de $E$ de dimension $n$ est une droite (démonstrations en dimensions $2$ et $3$).

Semaine 24

Espaces vectoriels, déterminants, fin.
Début du chapitre 16: intégration.

Semaine 23

Espaces vectoriels, déterminants.

Programme de colles K22

Espaces vectoriels: tout le chapitre sans le calcul de déterminants. Exercices simples sur les liens matrices-applications linéaires.

Questions de cours:

1 L'intersection, la somme de sev sont des sev.

2 Si $A$ est une famille de $n$ vecteurs, et si $n+1$ vecteurs sont dans $Vect(A)$, alors ils sont liés.

3 Formule de Grassmann.

4 Si $f$ est linéaire et bijective, alors $f^{-1} $ est linéaire.

5. Si $p$ est un projecteur de $E$,  $E = Ker p \oplus  Im p$

6. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $f\in{\cal L}(E,F)$. Alors
(i) la famille $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est génératrice de $Im f$.
(ii) $f$ est surjective ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est génératrice de $F$.
(iii) $f$ est injective ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est libre.
(iv) $f$ est un isomorphisme ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est une base de $F$.
(3 démonstrations)

7. Théorème du rang.

8. Définition de la matrice d'une application linéaire dans des bases choisies, formule de changement de base dans le cas d'un e…

Programme de colles K21

Espaces vectoriels: sev, familles de vecteurs, dimension finie, applications linéaires, projecteurs et symétries (exercices simples sur les applications linéaires).

Questions de cours:

1 l'intersection, la somme de sev sont des sev.

2 si $A$ est une famille de $n$ vecteurs, et si $n+1$ vecteurs sont dans $Vect(A)$, alors ils sont liés.

3 formule de Grassmann.

4 si $f$ est linéaire et bijective, alors $f^{-1} $ est linéaire.

5. si $p$ est un projecteur de $E$,  $E = Ker p \oplus  Im p$

6. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $f\in{\cal L}(E,F)$. Alors
(i) la famille $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est génératrice de $Im f$.
(ii) $f$ est surjective ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est génératrice de $F$.
(iii) $f$ est injective ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est libre.
(iv) $f$ est un isomorphisme ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est une base de $F$.
(3 démonstrations)

Semaine 22

Correction du DS6.
Espaces vectoriels: applications linéaires, matrices.

Programme de colles K20

Au programme des colles de la rentrée: polynômes et espaces vectoriels. Les exercices porteront sur les sev, les familles de vecteurs, la dimension finie.

Questions de cours:

- théorème de d'Alembert-Gauss, factorisation des polynômes dans $\mathbb{R}[X]$.

- définition et caractérisation des sev.

- l'intersection, la somme de sev sont des sev.

- si $A$ est une famille de $n$ vecteurs, et si $n+1$ vecteurs sont dans $Vect(A)$, alors ils sont liés.

- formule de Grassmann.

- bases canoniques de $\mathbb{K}_n[X]$, de ${\cal M}_{n,p}(\mathbb{K})$ (pas de démonstration).

- si $f$ est linéaire et bijective, alors $f^{-1} $ est linéaire.

Exercices pour la rentrée

Voici la feuille à faire pour lundi 12 mars.

TD espaces vectoriels

Sujet, corrigé.

Semaine 21

Espaces vectoriels: sous-espaces vectoriels, familles de vecteurs, dimension finie, applications linéaires.
DS6 (4h)
Vacances de février.

Programme de colles K19

Dénombrement, polynômes, espaces vectoriels.
Pas d'exercices sur les espaces vectoriels.

Questions de cours:

1. Division euclidienne.

2. $\alpha$ est racine de $P$ si, et seulement si, $X-\alpha$ divise $P$.

3. Décomposition d'un polynôme de $\mathbb{R}[X]$ en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$.

4. Définitions équivalentes d'un sev.

5. L'intersection de deux sev est un sev.

6. Si $A$ et $B$ sont deux sev, alors $A+B = Vect(A\cup B)$.

Semaine 20

Polynômes, espaces vectoriels.

TD polynômes

TD dénombrement

Programme de colles K18

Au programme, chapitres 11 à 14: limites, développements limités, continuité, dérivation, dénombrement, polynômes.

Il n'y aura pas d'exercices sur les polynômes.

Questions de cours:

1. Théorème des valeurs intermédiaires.

2. Formule de Taylor-Young.

3. Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis.

4. Nombre d'applications entre ensembles finis.

5. Nombre d'injections entre ensembles finis.

6. Nombre de parties d'un ensemble.

7. Théorème de division euclidienne des polynômes.


DL 15 et supplément

Pour jeudi 15 février: polynômes de Hermite et de Lagrange.
Supplément facultatif pour avant les vacances de février: nombre de surjections.

Semaine 19 (début du semestre 2)

Fin du chapitre sur le dénombrement, exercices et TD.
Chapitre 14: polynômes.

Programme de colles K17

Exercices: limites, continuité, développements limités et dérivation.

Questions de cours:

1. Théorème des valeurs intermédiaires.

2. Théorème des accroissements finis.

3. Formule de Taylor (pas de démonstration) et démonstration de deux développements usuels.

4. Cardinal d'un produit cartésien d'ensembles finis, de l'ensembles des parties d'un ensemble fini.

5. Cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble fini dans un  autre, nombre d'injections, de bijections.


DL14

TD dérivation

Semaine 18

Des corrigés (chap. 11 et 12)

Programme de colle K16

Chapitres 11 et 12: limites, fonctions continues, développements limités, dérivation (sauf les fonctions à valeur complexe).

Questions de cours:

1. Théorème des valeurs intermédiaires.

2. Théorème de Rolle.

3. Théorème des accroissements finis.

4. Formule de Taylor-Young.

5. Formule de Leibnitz.

6. Tous les développements limités usuels (page 213).


Semaine 17

Chapitre 12: développements limités et dérivation.
TD et DM: calcul de développements limités.

DS5 (4h)

DL13

Pour jeudi 25 janvier: sujet.

Programme de colle K15

Limites et fonctions continues, développements limités.

Questions de cours:

1. définitions avec des quantificateurs de $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = b$ avec $a,b\in \bar{\mathbb{R}}$ (au moins 3 cas).

2.  définition de $f=O(g), f=o(g), f\sim g$, comparaison des fonctions usuelles, démonstrations de $e^x - 1 \sim x, \ln(1+x) \sim x, \sin(x) \sim x$ au voisinage de $0$.

3. théorème des valeurs intermédiaires.

4. formule de Taylor-Young.

5. deux démonstrations parmi les démonstrations des DL en $0$ de $\frac 1 {1-x}$, $\exp x$, $(1+x)^\alpha$, $\ln (1+x)$.

Semaine 16

Chapitre 12: développement limités et dérivation

Calculs de DL en ligne: ici
taper par exemple
sin(x)/cos(x) order 7

Programme de colle K14

Chapitres 10 et 11: suites, limites et fonctions continues.

Questions de cours:

1. théorème de la limite monotone pour les suites.

2. suites récurrentes linéaires d'ordre 2 : cas des racines complexes conjuguées .

3. définitions avec des quantificateurs de $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = b$ avec $a,b\in \bar{\mathbb{R}}$ (au moins 3 cas).

4.  définition de $f=O(g), f=o(g), f\sim g$, comparaison des fonctions usuelles, démonstrations de $e^x - 1 \sim x, \ln(1+x) \sim x, \sin(x) \sim x$ au voisinage de $0$.

5. théorème des valeurs intermédiaires.

Semaine 15

Chapitre 11: fonctions continues.
Mardi: TD sur les suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$, limites.