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Affichage des articles du mars 11, 2018

Programme de colles K21

Espaces vectoriels: sev, familles de vecteurs, dimension finie, applications linéaires, projecteurs et symétries (exercices simples sur les applications linéaires).

Questions de cours:

1 l'intersection, la somme de sev sont des sev.

2 si $A$ est une famille de $n$ vecteurs, et si $n+1$ vecteurs sont dans $Vect(A)$, alors ils sont liés.

3 formule de Grassmann.

4 si $f$ est linéaire et bijective, alors $f^{-1} $ est linéaire.

5. si $p$ est un projecteur de $E$,  $E = Ker p \oplus  Im p$

6. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $f\in{\cal L}(E,F)$. Alors
(i) la famille $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est génératrice de $Im f$.
(ii) $f$ est surjective ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est génératrice de $F$.
(iii) $f$ est injective ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est libre.
(iv) $f$ est un isomorphisme ssi $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$ est une base de $F$.
(3 démonstrations)

Semaine 22

Correction du DS6.
Espaces vectoriels: applications linéaires, matrices.